Progression en terminale S
MODÉLISATION ET RÉSOLUTION NUMÉRIQUE
D'ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES
La modélisation mathématique d'un ensemble de mesures peut être de nature
empirique et reposer sur la recherche d'une relation mathématique uniquement
descriptive, mais elle peut aussi s'inscrire dans une activité de confrontation
modèle-mesures. Dans ce cas, la modélisation est d'abord dans le choix
du champ théorique, des grandeurs pertinentes, des approximations, etc.
La formulation mathématique n'est alors qu'une des facettes qui permet
en particulier des prédictions quantitatives vérifiables ou l'optimisation
de paramètres. Généralement cette démarche conduit à des équations différentielles
dont la solution n'est pas accessible (fondamentalement ou simplement
au niveau d'étude considéré) et une méthode numérique est alors le seul
recours.
Ces considérations générales s'appliquent à l'enseignement de la physique
au lycée. Ainsi, l'étude théorique des oscillations électriques d'un circuit
RLC ou mécaniques d'un système oscillant aboutit à une équation différentielle
du second ordre dont la solution analytique n'est pas connue des élèves.
La mise en œuvre d'une méthode numérique, facilement accessible dans
les logiciels actuels, permet alors de mener à bien une activité de confrontation
entre résultats expérimentaux et modèle.
Différentes expérimentations auprès d'élèves ont montré qu'il est important
d'expliciter les différences fondamentales entre la résolution numérique
d'une équation différentielle et la modélisation par fonction (tant au
niveau des démarches que des méthodes de calcul), et également entre "la
résolution" numérique et la solution analytique. La compréhension
de la complémentarité repose alors sur l'explicitation des méthodes. A
cela il faut ajouter que, en l'absence de précaution, les élèves perçoivent
les méthodes numériques comme des "bricolages". Il convient
donc que l'introduction des équations différentielles et de leur résolution
numérique soit traitée en parallèle en mathématique et en physique.
Concrètement, c'est bien évidemment la méthode
d'Euler qui est expliquée aux élèves sur un exemple où l'équation
différentielle est du premier ordre (étude théorique du phénomène d'auto-induction),
tout en précisant que les logiciels qu'ils manipulent utilisent généralement
des algorithmes plus rapides et performants et donc plus complexes. Notons
que cette démarche n'est pas différente de celle adoptée dans la plupart
des domaines enseignés où les phénomènes naturels de référence, les applications
technologiques sont ainsi "décalés" par rapport à une modélisation
simple du principe.
Il est clair que notre objectif n'est pas d'expliquer aux élèves le fonctionnement
interne d'un logiciel, mais de leur faire réaliser que, derrière les outils
informatisés, de telles méthodes existent et qu'ils peuvent en comprendre
le principe afin de mieux les utiliser.
Le tableau ci-dessous montre l'articulation mathématiques / physique
qui a été élaborée et mise en œuvre.
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