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Fiche élève
RÉSOLUTION NUMÉRIQUE D'UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE
MÉTHODE D'EULER POUR UNE ÉQUATION DU 1ER ORDRE
y’(t) = ay(t)+b
Principe
Le symbole y désigne une fonction inconnue de t que l'on ne cherche pas à déterminer. La résolution numérique de l'équation y'(t) = a.y(t) + b consiste à calculer pas à pas un ensemble de valeurs numériques de y, à des dates successives prises à intervalles réguliers à partir de l'instant t0. On suppose connue à cet instant t0 la valeur initiale y0 de y, condition initiale indispensable pour pouvoir démarrer le calcul.
On a t1 = t0 + dt, t2 = t1 + dt, etc... jusqu'à tn = tn-1 + dt
Rappel :
approximation affine d'une fonction
Si f est une fonction dérivable en x0 alors pour h suffisamment petit :
f(x0 + h) = f(x0) + f '(x0)*h + h*e (h)
h*e (h) étant négligeable devant les deux autres termes on peut prendre comme approximation pour f(x0 + h) : f(x0 + h) » f(x0) + f '(x0)*h
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On applique ce résultat à la fonction y de t entre deux instants ti et ti+1 = ti + dt, ce qui donne : yi+1 = yi + y'i*dt |
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Méthode
Pour obtenir les valeurs successives y1, y2,..., yn, les calculs s'enchaînent de la manière suivante :
- conditions initiales : à t0 correspond y0 et on a choisi dt fixe et petit.
- on calcule y'0 en utilisant l'équation différentielle : y'0 = ay0 + b.
- on calcule y1 en utilisant l'approximation affine : y1 = y0 + y'0*dt.
- on calcule y'1 en utilisant l'équation différentielle : y'1 = ay1 + b.
- on calcule y2 = y1 + y'1*dt.
- on calcule y'2 = ay2 + b
- on calcule y3.....
- ...
- on calcule y'i = ayi + b
- on calcule yi+1 = yi + y'i*dt
- ...
- on s'arrête à yn = yn-1 + y'n-1*dt
L' ensemble des points Ai(ti,yi) appartient à une courbe représentant la fonction y(t) (avec une bonne approximation si dt est petit
