Informations pédagogiques
INTRODUCTION À LA MÉTHODE D'EULER
DÉCHARGE D'UN CONDENSATEUR À TRAVERS UNE RÉSISTANCE
Objectifs,
place dans la progression
Prérequis
Les élèves connaissent les équations différentielles du premier ordre avec second membre nul y'(t) + Ay(t) = 0 et la solution analytique de la forme y = B e-At avec B = y(0).
En résolvant l'exercice sur la décharge d'un condensateur à travers une
résistance, ils ont établi la solution exponentielle de l'équation différentielle :
Finalité (objectifs pour l'enseignant)
Cette séance de cours a pour objectifs d'introduire la méthode d'Euler de résolution numérique d'une équation différentielle, de comparer les résultats obtenus par les deux méthodes analytique et numérique sur l'exemple de la décharge d'un condensateur dans une résistance et enfin d'observer le rôle important du pas du calcul.
Le rôle de l'enseignant de mathématique est ici de montrer la complémentarité des méthodes analytique et numérique sur une situation en physique.
À
propos de la planification de la séance
Dans un premier temps le professeur de mathématique présente le principe de la méthode d'Euler selon le schéma décrit dans la fiche distribuée aux élèves, puis cette méthode de résolution est appliquée à la résolution de l'équation différentielle décrivant la décharge du condensateur établie précédemment avec le logiciel Graph'X (édité par SOFTIA, 42 rue Monge, 75005 Paris). Les élèves peuvent reconnaître l'allure du graphe qu'ils ont précédemment tracé dans l'exercice.
Dans un deuxième temps, les points obtenus par résolution numérique sont alors comparés au graphe de la solution analytique exponentielle de l'équation différentielle, que les élèves connaissent :
Enfin, en faisant varier le pas de calcul, on montre l'importance de son choix pour la précision et la validité de la résolution numérique.
Exemples
de résultats scientifiques
Solution numérique
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Résolution numérique de l'équation différentielle : Avec R = 1 kW et C = 1µF, l'équation différentielle s'écrit : u' = -1000u. Ensemble d'étude [0, 0.01s] |
Superposition des solutions analytique et numérique
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Superposition du graphe de la solution analytique de l'équation différentielle et des points obtenus par sa résolution numérique avec un petit pas de calcul (0.1ms) |
Influence du pas de calcul
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Superposition du graphe de la solution analytique de l'équation différentielle et des points obtenus par la résolution numérique avec un grand pas de calcul (2ms) (Le pas choisi ici est volontairement très grand) |
