Informations pédagogiques

MODÉLISATION DES OSCILLATEURS : QUELQUES EXEMPLES

La résolution numérique des équations différentielles, auxquelles amènent les modèles théoriques, permet de réaliser une exploitation qualitative avec les élèves de Terminale S.

Nous présentons succinctement ci-dessous un ensemble de situations bien connues concernant les oscillateurs, les résultats affichés ont été obtenus avec le logiciel de mathématiques Graph'X (SOFTIA).

 Modélisation de l'oscillateur linéaire

Équation différentielle : y’’(t) + Ay’(t)  + w ₀²y(t)  = 0 (A et w ₀ constants)
Pour simplifier ici on pose w ₀ = 1.

Cas de l’oscillateur libre non amorti : A = 0

Équation différentielle : y’’(t) = -y(t)

L’oscillateur est harmonique (oscillations sinusoïdales de période T₀ = 2p /w ₀).
La courbe de y(t) est représentée en pointillé dans le graphe ci-dessous (conditions initiales : y₀ = 0 y’₀ = 2).

Cas de la naissance des oscillations : A < 0

Équation différentielle :   y’’(t) = -Ay’(t) - y(t)

La courbe en trait plein ci-dessus est obtenue en choisissant A = - 0,15 (conditions initiales : y₀ = 0   y’₀ = 0,2).
On note que ce cas traduit un apport d'énergie.

Cas de l’oscillateur libre amorti : A >0

Équation différentielle :   y’’(t) = -Ay’(t) - y(t)

La courbe en trait plein ci-dessous est obtenue en choisissant A = + 0,15 (conditions initiales : y₀ = 0   y’₀ = 2).
On met alors en évidence l'existence d'une dissipation d'énergie.

Remarque : si A augmente, il peut y avoir disparition des oscillations ; le régime est alors apériodique.

Modélisation de l'oscillateur de Van der Pol

Équation différentielle :  y’’(t) - e  [1 - y²(t)/a² ]y’(t) + w ₀²y(t) = 0
C’est un oscillateur non linéaire : le facteur de y’(t) n’est pas constant (il dépend de y).

Pour simplifier, on pose a = 1  et  w ₀ = 1
L’équation s’écrit alors y’’(t) = e  [1 - y²(t)]y’(t) -y(t)

Avec les conditions initiales : y₀ = 0 et y’₀ = 0,01 on obtient les graphes ci-dessous :

Premier cas :  e = 0,5

Les oscillations établies sont quasi sinusoïdales.

Deuxième cas :  e = 5

Les oscillations établies ne sont pas sinusoidales.