Le symbole y désigne une fonction inconnue de t que l'on ne cherche pas à déterminer. La résolution numérique de l'équation y'(t) = a.y(t) + b consiste à calculer pas à pas un ensemble de valeurs numériques de y, à des dates successives prises à intervalles réguliers à partir de l'instant t₀. On suppose connue à cet instant t₀ la valeur initiale y₀ de y, condition initiale indispensable pour pouvoir démarrer le calcul.

On a t₁ = t₀ + dt, t₂ = t₁ + dt, etc... jusqu'à t_n = t_n-1 + dt

Si f est une fonction dérivable en x₀ alors pour h suffisamment petit :

f(x₀ + h) = f(x₀) + f '(x₀)*h + h*e (h)

h*e (h) étant négligeable devant les deux autres termes on peut prendre comme approximation pour f(x₀ + h) : f(x₀ + h) »  f(x₀) + f '(x₀)*h

Pour obtenir les valeurs successives y₁, y₂,..., y_n, les calculs s'enchaînent de la manière suivante :

• conditions initiales : à t₀ correspond y₀ et on a choisi dt fixe et petit.
• on calcule y'₀ en utilisant l'équation différentielle : y'₀ = ay₀ + b.
• on calcule y₁ en utilisant l'approximation affine  : y₁ = y₀ + y'₀*dt.
• on calcule y'₁ en utilisant l'équation différentielle : y'₁ = ay₁ + b.
• on calcule y₂ = y₁ + y'₁*dt.
• on calcule y'₂ = ay₂ + b
• on calcule y₃.....
• ...
• on calcule y'_i = ay_i + b
• on calcule y_i+1 = y_i + y'_i*dt
• ...
• on s'arrête à y_n = y_n-1 + y'_n-1*dt

L' ensemble des points A_i(t_i,y_i) appartient à une courbe représentant la fonction y(t) (avec une bonne approximation si dt est petit