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LES ACTIVITÉS DE MODÉLISATION AVEC STELLA
Les
expérimentations : modalités et éléments de bilan
L'objectif de l'expérimentation était de voir si des élèves de Terminale pouvaient s'approprier facilement la modélisation par représentation iconique et la relation "d'intégration" stock-flux, c'est-à-dire être ensuite capable de s'en servir pour résoudre des questions de physique. Nous avons travaillé avec des élèves volontaires selon la progression suivante :
- Séance n°1 : prise en main du logiciel. Introduction des grandeurs "pompe" et "réservoir" et ce sur le problème du remplissage d'un réservoir (précisions sur uniflow ou biflow pour la pompe, et negative ou non negative pour le réservoir).
- Séance n°2 : explicitation de la relation dérivée/intégration mathématique. Découverte du "moteur" qui permet le calcul numérique de la grandeur "réservoir" à partir de la grandeur "pompe". Présentation des "convertisseurs" et des liens entre les grandeurs. L’exemple étudié est le même mais s'applique à un débit que l'on peut moduler.
- Séance n°3 : modélisation d'une cinétique chimique. À propos de l’étude de la concentration en eau oxygénée dans une réaction avec les ions iodure réalisée en TP auparavant les élèves devaient construire le modèle Stella permettant de retrouver ce résultat expérimental.
- Séance n°4 : étude de la charge du condensateur. Cette question classique a été proposée sous forme d’une question très ouverte. Les élèves devaient construire l’intégralité du modèle : étude théorique sur papier, construction de l’intégrateur, introduction des différentes liaisons entre les grandeurs , conditions initiales et paramètres du calcul.
- Séance n°5 : oscillations d’une masse accrochée à un ressort élastique. La résolution d’une équation différentielle du deuxième ordre nécessite la construction d’un double intégrateur en chaîne ; ce principe de départ, une fois exposé aux élèves, devait permettre la réalisation du modèle Stella d'une expérience de mécanique étudiée en TP et en cours.
- Séance n°6 : le modèle général des oscillateurs : conformément au programme de la classe de Terminale, l'objectif final était la possibilité d'étudier une équation différentielle du deuxième ordre à coefficients constants.
L’expérimentation en première année d’université a eu pour but de voir les facilités/difficultés d'appropriation de Stella en mécanique (introduction formelle de l'intégrateur) et d’étudier le comportement des étudiants face à une question ouverte : comment utilisent-ils Stella lorsqu’ils ne sont plus guidés par une série de questions intermédiaires ? Trois séances d’utilisation du logiciel Stella ont été construites.
- Première séance : prise en main du logiciel. L’objectif était que les étudiants puissent construire un modèle simple et le faire fonctionner. L’accent est mis sur la compréhension du système "pompe-réservoir" et sur l’utilisation des quatre éléments de construction (pompe, réservoir, convertisseur, liaison) sur un exemple guidé (remplissage d’une cuve à essence à débit constant puis variable). Les influences du pas de calcul et de la méthode d’intégration sont étudiées.
- Deuxième séance : elle avait pour but de vérifier si les étudiants ont assimilé le principe de base ainsi que les modalités de fonctionnement de la résolution numérique (pas d’intégration, méthode, conditions initiales). Pour cela il est demandé de proposer un modèle permettant de calculer les positions successives d’un mobile non isolé. Il s’agit donc d’associer un double ensemble pompe-réservoir à la relation F = ma traduisant la deuxième loi de Newton.
- Troisième séance : l’objectif était de tester le réinvestissement des étudiants en leur proposant l'étude du mouvement d’un parachutiste dont le parachute ne s’ouvre pas au moment où il quitte l’avion. Seules sont précisées l’altitude de départ, l’altitude d’ouverture et la masse du parachutiste. La situation ainsi présentée laisse à l’étudiant de nombreux choix à effectuer.
Le travail, réalisé durant deux années, a été purement exploratoire, visant une meilleure estimation des potentialités didactiques et pédagogiques à différents niveaux. Ceci a permis de mieux cerner un certain nombre de conditions à prendre en compte dans l'éventualité d'une étude centrée sur des utilisations en classe.
En particulier, les essais en Terminale ont permis d'ajuster l'introduction du modèle "réservoir-débit" traduisant une relation d'intégration, et surtout de voir les limites d'utilisation à ce niveau : une maîtrise insuffisante des concepts de la physique et des outils mathématiques utiles peut empêcher les élèves de bien comprendre le sens des calculs et des relations entre objets du modèle.
Au niveau du DEUG, l'utilisation de Stella apparaît comme beaucoup plus pertinente, le logiciel étant alors mieux perçu comme un outil permettant de concrétiser, en les faisant fonctionner, les modèles théoriques qu'ils peuvent élaborer grâce à leurs connaissances de physique. Par ailleurs, les notions de dérivation, d'intégration et d'équation différentielle ne constituent plus des obstacles.
De façon plus générale, ce type de logiciel prend son sens dans une utilisation en activité de résolution de problèmes avec une autonomie minimale, conditions qui ne sont guère envisageables dans les structures actuelles des lycées d'enseignement général.
Les
capacités mises en jeu dans l'utilisation du logiciel Stella : grille d'observation
Une partie du travail a porté également sur l'analyse des savoirs et savoir-faire requis ou mis en jeu dans l'utilisation de Stella. Les différents items ci-dessous, en étroite relation avec les analyses faites par ailleurs, ont servi de référence à des grilles d'observation des séances.
Capacités liées à la manipulation du logiciel :
- savoir prendre et poser un objet graphique
- savoir construire un "noyau flux-réservoir" (spécifique Stella)
- savoir paramétrer en "non negative" et "biflow" (spécifique Stella)
- savoir changer de niveau (spécifique Stella)
- savoir initialiser des valeurs
- savoir entrer une relation (spécifique Stella : flux ou transformateur, mais également général du point de vue de l'utilisation d'une syntaxe type calculette)
- savoir spécifier une relation par un graphique (spécifique Stella : flux ou transformateur)
- savoir créer des liens entre objets (spécifique Stella)
- savoir obtenir une représentation graphique
- savoir créer une représentation au niveau "supérieur" (avec des "potentiomètres" par exemple)
Capacités liées à la construction d'un modèle "Stella" à partir d'un modèle théorique donné classiquement :
- savoir représenter une relation différentielle ou intégrale par un "noyau flux-réservoir" (spécifique Stella)
- savoir associer correctement valeurs initiales et fonction de variation aux paramètres du réservoir et du flux d'un noyau construit
- savoir représenter une dépendance explicite à un paramètre par une liaison à un "transformateur" (spécifique Stella)
- savoir représenter le calcul d'une grandeur explicite par une liaison à un "transformateur"
- savoir identifier une relation de type "rétroaction"
Capacités liées à l'élaboration d'un modèle :
- savoir ajuster un paramètre
- savoir porter un jugement critique compte tenu des résultats d'une simulation (cohérence générale, cohérence par rapport à des données)
- savoir complexifier un modèle ou un germe de modèle
Capacités générales pouvant être mises en jeu dans une activité avec Stella :
- lire et utiliser un mode d'emploi, une fiche de consignes
- recopier des valeurs données ou des expressions
- lire et interpréter un schéma codé
- lire une représentation graphique (I) : reconnaître les grandeurs et valeurs portées en abscisse et ordonnée
- lire une représentation graphique (II) : déterminer la (ou les) valeur(s) correspondant à un point spécifié
- rechercher de l’information dans un document, une notice, une annexe, etc.
- choisir un mode de représentation
- choisir des valeurs de paramètres, des conditions expérimentales, les échelles ou le nombre de mesures
- choisir un modèle
- appliquer une formule de calcul donnée
- reconnaître un résultat connu (valeur, relation)
- reconnaître un résultat annoncé (valeur, courbe, relation, etc.)
- énoncer une définition, un théorème
- appliquer une définition, un théorème lorsqu'il est explicitement demandé
- appliquer une définition, un théorème pour résoudre une question-problème
- traduire en terme graphique une consigne numérique
- traduire en valeur numérique un résultat graphique
- interpréter et reformuler une information
- exprimer verbalement une valeur numérique, une courbe, un schéma, etc.
- émettre une hypothèse pouvant être testée par l’expérience
- proposer une interprétation qualitative
- proposer une relation mathématique entre deux grandeurs, deux variables, à partir de données
- proposer un modèle théorique
- juger de la qualité d'une mesure, d'un calcul (conserver ou refaire)
- juger de la cohérence d'un résultat (ordre de grandeur, référence à une valeur connue, donnée ou calculée auparavant, etc.).
Quelques
unes des modélisations
| L'exemple de la cinétique chimique est sans doute le plus simple du fait de l'analogie directe en termes de stock/débit : les stocks sont évidemment les concentrations des différentes espèces et les débits les vitesses de réaction. |
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| Le cas où la vitesse de réaction dépend de la concentration d'une des espèces se traduit naturellement, au niveau conceptuel, par un lien entre les deux icônes. |
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| Le cas de deux réactions successives compétitives est tout aussi intuitif. Le graphe ci-contre représente d'emblée les relations conceptuelles entre les grandeurs |  |
Dans tous les cas, il reste à spécifier mathématiquement la relation, sans laquelle aucun aspect quantitatif ne peut être étudié. Par exemple, pour l'étude de la réduction de l'eau oxygénée, un groupe d'élèves de TS a construit le modèle ci-dessous. L'hypothèse de la proportionnalité entre vitesse et concentration est imaginée par les élèves pour tenir compte des résultats expérimentaux déjà connus.
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Téléchargement du fichier : H2O2.stm (43 Ko)
Dans le fichier H2O2.stm, l'erreur de signe commise par les élèves dans la relation entre vitesse et concentration, est l'occasion d'une discussion intéressante sur les définitions des grandeurs utilisées.
L'étude de la charge du condensateur par un générateur de tension et à travers une résistance présente le même intérêt et la même proximité en terme de modélisation par Stella.
| La représentation de charge du condensateur par un réservoir et l'intensité par un flux est déjà en soi une représentation conceptuellement intéressante : la charge est le stock et l'intensité est bien le débit. |
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| Se dire qu'au fur et à mesure de la charge, la tension du condensateur allant en augmentant, le courant de charge ira en s'amenuisant peut se traduire, ne serait-ce encore au niveau conceptuel des relations entre grandeurs physique par l'ajout d'une simple flèche. |
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Ensuite, il faut spécifier de façon
quantitative, et donc physico-mathématique, les paramètres qui interviennent
explicitement dans l'énoncé. Avec des notations habituelles :
On crée alors les "cercles" qui représentent
les grandeurs E, R et C et surtout les liens qui permettent de calculer l'intensité à
partir de la charge, de E, de R et de C. |
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| On obtient le résultat sous forme de courbes donnant la
charge du condensateur en fonction du temps. Sur le graphe ci-contre on a réalisé un faisceau de courbes (pour différentes valeurs de R) dont on a programmé l'arrêt pour une date égale à la constante de temps du dipôle RC. |
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La difficulté pour les élèves vient de leur représentation immédiate : le courant est la cause de la charge. Or, justement, c'est la charge du condensateur qui impose l'intensité du courant (pour une résistance donnée).
Téléchargement du fichier : CRtau.stm (18 Ko)
Oscillateur
mécanique à une dimension
Stella est également adapté à la modélisation en mécanique.
| Si la notion de réservoir et de flux perd son sens
imagé, la relation de dérivée à grandeur est évidemment adapatée à la
mécanique : relations vitesse/position et accélération/vitesse. La résolution de l'équation différentielle du mouvement sera donc obtenue avec Stella en créant un double intégrateur numérique. |
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On notera ici que cette modélisation de la mécanique newtonienne n'est pas celle de l'enseignement secondaire où l'on n'utilise pas la quantité de mouvement comme intermédiaire mais la deuxième loi de Newton exprimée avec la dérivée seconde de la position.
La connaissance de l’accélération, point de départ nécessaire pour le calcul, est bien sûr établie par l’application du théorème du centre d'inertie, et suppose donc que l’on modélise les forces appliquées.
Pour un oscillateur mécanique à une dimension, par
exemple, les forces appliquées peuvent être la tension du ressort et une force de
frottement : . On peut créer les "cercles" qui représentent les grandeurs masse, tension, frottement, etc. On crée enfin les liaisons qui traduisent les relations entre ces grandeurs :
a = (tension du ressort + frottement)/masse |
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On notera ici le sens des relations. L'utilisation de Stella conduit à une réflexion parfois délicate, mais toujours intéressante sur les relations de "causalité" des différents phénomènes.
| On complète le modèle par les valeurs numériques des
différents paramètres et par les valeurs initiales des variables x et v. L’affichage du résultat x = f(t) ci-contre correspond à des valeurs croissantes de h : passage des oscillations libres (h = 0) aux oscillations faiblement, puis plus fortement amorties. |
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Téléchargement du fichier : Oscil01.stm (27 Ko)
Modélisation
des oscillations électriques
Un circuit électrique dans lequel sont branchés en série un générateur de tension, un conducteur ohmique, une bobine et un condensateur est décrit par une équation différentielle du deuxième ordre. Une structure à deux "intégrateurs" sera donc nécessaire pour obtenir la charge du condensateur : "l'étage" entre di/dt et l'intensité, puis "l'étage" entre l'intensité et la charge du condensateur.
| Entre les deux "étages"
intégrateur, on remarque la liaison entre le "réservoir" intensité (alimenté
par la "pompe" di/dt) et la "pompe" intensité (notée i et alimentant
le "réservoir" charge). La grandeur "dérivée de i" est bien évidemment reliée aux différents paramètres E, L, R et C, mais aussi à la charge q et à l’intensité i : |
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| Un tel modèle permet d'étudier aussi bien
les oscillations libres amorties, auto-entretenues ou forcées : il suffit de
spécifier le modèle choisi pour E. Si E = 0 et à condition d’avoir choisi une charge initiale, on obtient les oscillations libres (amorties ou non suivant R) comme le montre les graphes q=f(t) ci-contre. |
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Téléchargement du fichier : RLCamor.stm (211 Ko)
INRP-TECNE
Unité Informatique et enseignement
30/05/2000