Informations pédagogiques
ANALYSE D'UNE ACQUISITION DE DONNÉES
CHARGE D'UN CONDENSATEUR
Objectifs,
place dans la progression
L'étude repose sur l'acquisition automatique de la tension au cours de la charge d'un condensateur. L'objectif de cette activité est d'analyser les écarts entre les points expérimentaux et les points du modèle exponentiel pour évaluer l'incertitude sur les mesures de tension et expliquer l'existence d'une incertitude sur les paramètres du modèle optimisé.
Prérequis
Les élèves doivent avoir étudié la charge d'un condensateur de capacité C, sous une tension constante E et établi l'équation différentielle :
Ils ont appris, en mathématiques, à résoudre les équations différentielles linéaires du premier degré et déterminé la solution analytique pour l'équation différentielle précédente :
Par ailleurs, ils doivent avoir régulièrement utilisé, dans différentes situations en physique, un logiciel de d'exploitation de mesures qui permet d'obtenir la courbe optimisée superposée aux points expérimentaux tel que Regressi (Micrelec). Mais, à ce stade, ils ont essentiellement travaillé avec des fonctions affines.
Le principe de l'optimisation du modèle par la méthode des moindres carrés a été étudié avec eux dans le cadre des enseignements de mathématiques et de physique (voir la progression).
Planification
Un même fichier de mesures obtenu pendant le cours précédent est mis à la disposition de chaque groupe d'élèves qui ne réalise donc pas l'acquisition.
Sur la superposition des points expérimentaux et du modèle optimisé 
:
- ils recherchent manuellement l'écart maximal entre les ordonnées des points expérimentaux et celles des points du modèle de même abscisse ;
- ils tracent pour chaque point expérimental la barre d’étendue de l'incertitude.
Les valeurs des paramètres calculées par le logiciel sont alors présentées par l'enseignant comme des estimations des valeurs cherchées pour les paramètres A et B.
- Les élèves doivent réécrire le résultat pour A et B en utilisant une écriture scientifique et en inscrivant un nombre de chiffres significatifs en cohérence avec l'incertitude affichée.
Exemple de résultats scientifiques
Charge d’un condensateur
Incertitude estimée par les élèves sur Uc : 0,05V
Résultats affichés par le logiciel Regressi
|
Uc = A * (1-exp(-t/B)) |
A = 2.3310 ± 12.0m B = 65.136m ± 1.60m Écart relatif sur Uc = 1.1% |
La modélisation par moindres carrés comporte des hypothèses sur les incertitudes (incertitude sur la grandeur en abscisse nulle ou très faible et incertitude sur la grandeur en ordonnée constante), et l'écart résiduel après optimisation représente les fluctuations qui affectent a priori chacune des mesures de tension Uc et que l'on peut déterminer. Il en résulte aussi une incertitude sur les valeurs des paramètres. Il ne s'agit donc que d'une estimation et la valeur cherchée n'appartient à l'intervalle qu'avec un certain taux de confiance.
La condition sur la grandeur t portée en abscisses est a priori remplie ici ; mais l'incertitude sur la mesure de la tension Uc portée en ordonnée n'est pas constante car elle a une double origine : l'appareil de mesure et les fluctuations de la tension. Ce sont ces dernières fluctuations que nous prenons en compte dans le travail présenté.
Actuellement, certains logiciels proposent le choix d'une méthode de khi² pour la modélisation. Cette méthode permet de tenir compte de l'ensemble des incertitudes et son utilisation est préférable.