Fiche élève

ANALYSE D'UNE ACQUISITION DE DONNÉES
CHARGE D'UN CONDENSATEUR

Étude théorique

On applique une tension constante E aux bornes d’un dipôle R,C (R = 13000 W ; C = 5,0 µF). L’interrupteur K est fermé à la date t = 0 s et on enregistre les valeurs de la tension u_C aux bornes du condensateur pendant 0,5 s à l’aide du logiciel Regressi.

L’équation différentielle théorique du circuit fermé est :

La solution générale de cette équation différentielle est de la forme :

A et B sont des constantes pour le circuit. Nous allons confronter ce modèle théorique avec les points expérimentaux obtenus.

Schéma du montage

Que représentent A et B pour le circuit afin que l’équation différentielle soit vérifiée pour toute date t ?

Rappel sur l’écart quadratique et sur sa minimisation

A chaque date t_i correspond une mesure u_ci de la tension u_c. Le modèle théorique est :

A et B sont les paramètres du modèle.

On définit l’écart quadratique moyen pour les N mesures par :

Cet écart doit être minimisé afin que le modèle théorique passe au mieux entre les points expérimentaux. C’est la méthode qui est utilisée par le logiciel Regressi (Micrelec) lorsqu’on fait une modélisation par une fonction théorique.
Les paramètres A et B sont alors calculés pour que l’écart quadratique J soit minimum.

Graphe Uc(t)

Modélisation

Lancer le logiciel Regressi et charger le fichier "ChargeC".
Afficher le graphe u_c(t) et observer son allure.
Proposer le modèle u_c = A*(1-exp(-t/B)). (pour initialiser les calculs il faut donner à A et B des valeurs approximatives en fonction des données).
Faire la modélisation et noter le résultat tel qu’il est affiché mais en utilisant la notation scientifique :

A = ± B = ±

Observation du graphe du modèle et comparaison avec les points expérimentaux

Afficher le graphe et observer qu’il y a un écart résiduel entre la courbe et les points expérimentaux.

De cet écart, on peut tirer une information sur l’incertitude sur chaque mesure :

Rechercher le point expérimental au dessus de la courbe dont l’ordonnée est la plus éloignée de l’ordonnée du point de la courbe de même abscisse.
Noter la différence des ordonnées.
Recommencer pour le point expérimental le plus éloigné en dessous de la courbe.

L’écart maximum est une évaluation de l’incertitude Du_c sur u_c. L’étendue de l’incertitude sur chaque mesure peut alors être représentée graphiquement par une barre verticale correspondant au double des plus grands écarts observés.

Tracer sur le graphe les barres d’étendue de l’incertitude pour chaque mesure de U_c (on supposera que l’incertitude sur la date t est nulle).