Le principe de la méthode élémentaire consiste à calculer l'aire comprise entre les points et l'axe des abscisses en considérant la somme S des aires des trapèzes consécutifs. Il s'agit alors d'une estimation des valeurs successives de l'intégrale définie dont la borne inférieure est le premier point et la borne supérieure la variable x courante :

S(xi) = S si avec si = ½ (yi + yi-1)*(xi - xi-1) pour i de 2 à N et s1 = 0

Remarque : on peut vouloir estimer l'intégrale à partir de x = 0 et non de la première mesure (cas du mouvement sur un plan incliné, par exemple). Dans ce cas il est possible d'utiliser une estimation de s₁ par extrapolation : s₁ = (a(½ x₁) + b)*x₁

• Le traceur de fonctions
• L'écart quadratique

  Le traceur de fonctions

Pour analyser des données expérimentales, on est souvent amené à chercher la fonction mathématique qui représente (décrit) un ensemble de valeurs. La représentation pertinente ayant été choisie, il faut pouvoir tracer la courbe qui correspond à la fonction supposée.

Le calcul est alors effectué sur un nombre fini de valeurs de la variable "explicative" (même si la représentation graphique donne un aspect continu !) et la courbe est tracée en superposition des points expérimentaux. On ajuste à la main éventuellement l'un des paramètres (R expérimentalement mal déterminé, par exemple).
	Superposition des données expérimentales et du modèle théorique de I(f) complété par la courbe donnant Uc(f)

  L'écart quadratique

Dans un certain nombre de cas, la confrontation graphique est insuffisante, et il convient de s'intéresser à un outil numérique permettant de quantifier l'adéquation du modèle par un critère numérique, l'écart quadratique par exemple.

On prend alors comme mesure de l'écart entre la courbe mathématique et les points expérimentaux, la somme moyennée sur N mesures des écarts calculés pour chaque point et élevés au carré :

  avec 

Rechercher ce minimimum c'est chercher les "moindres carrés"...

Cette méthode comporte des conditions d'utilisation si l'on souhaite faire une détermination fiable des paramètres. Il s'agit alors en effet d'une utilisation comme méthode d'analyse statistique des incertitudes.

Dans un certain nombre de cas, l'application des relations fondamentales de la physique conduit à des équations différentielles qui, soit n'ont pas de solution analytique, soit sont rencontrées dans le cours de physique avant d'avoir été réellement traitées en mathématiques.

Une méthode numérique permet alors d'obtenir une solution point par point qui pourra être comparée aux données expérimentales.

• Méthode du premier ordre
• Méthode de Feynman (équation du second ordre)
• Méthode de Runge-Kutta (cas d'une équation du premier ordre)

  Méthode du premier ordre

Soit l'équation différentielle du premier ordre sur une fonction (inconnue) y(t) :

y' = dy/dt = f(t, y)

La résolution numérique consiste à calculer l'ensemble des valeurs prises par y à des dates successives :

t_o = 0, ..... , t_i , t_i+1 , .... (intervalle constant dt)

Si l'intervalle dt est suffisamment petit, on peut écrire :

y_i+1 @ y_i + y'_i*dt               avec               y'_i = f(t_i, y_i)

On voit ainsi que si y_i est connu, alors y_i+1 est calculable et qu'il suffit de donner une condition initiale : y_o.

Pour une équation du second ordre, le même principe peut être utilisé. L'équation est du type :

y" = d²y/dt² = f(t, y, y' )

D'où l'on déduit :

y_i+1 @ y_i + y'_i* dt 
y'_i+1 @ y'_i + y"_i* dt       avec     y"_i = f(y_i, y'_i)

Il faut donc bien deux conditions initiales (y_o et y'_o) pour démarrer la résolution.

Cette méthode très simple peut être mise en œuvre sur un tableur. Elle est très instructive, mais n'est évidemment pas performante : les approximations successives entraînent rapidement une divergence des valeurs calculées.

Plusieurs méthodes peuvent être utilisées pour améliorer le calcul : la méthode de Feynman et celle, régulièrement utilisée, dite de Runge-Kutta.

  Méthode de Feynman (équation du second ordre)

Elle consiste à utiliser l'estimation de la dérivée en i sur un intervalle double (i+1, i-1). Cela conduit à un calcul au second ordre :

y"_i = f(y_i, y'_i ) 
y'_i+1 = y_i-1 + 2*y"_i*dt   
y_i+1= y_i-1 + 2y'_i*dt

L'inconvénient, on le voit sur ces formules, est de nécessiter la connaissance, non seulement des conditions initiales classiques, mais également des valeurs correspondantes au point t₁ : y₁ et y'₁. On doit alors utiliser un autre moyen pour les obtenir : autre mesure, calcul par développement de Taylor ou estimation au premier ordre.

  Méthode de Runge-Kutta (cas d'une équation du premier ordre)

La même idée, mais poussée plus loin, permet encore d'améliorer le calcul. D'une part on obtient une expression polynomiale ne faisant intervenir que la fonction, et d'autre part, elle ne nécessite que la connaissance des conditions initiales à t = 0. Pour une équation du premier ordre la méthode est la suivante :

y' = dy/dt = f(t, y)

y_i+1 = y_i + 1/6(k₀ + 2k₁ + 2k₂ + k₃)

avec :

h = dt
k₀ = h*f(ti, yi)
k₁ = h*f(ti + h/2, yi + k₀/2)
k₂ = h*f(ti + h/2, yi + k₁/2)
k₃ = h*f(ti + h, yi + k₂)

Une méthode équivalente existe pour les équations du second ordre, puisqu’on peut se ramener à deux équations différentielles du premier ordre en posant :

dy/dt = u
du/dt = f(t,y,u)

Les expressions correspondantes de la résolution numérique font donc intervenir deux jeux de paramètres :

u_i+1 = u_i + 1/6(k₀ + 2k₁ + 2k₂ + k₃)
y_i+1 = y_i + 1/6(l₀ + 2l₁ + 2l₂ + l₃)