L'expression des nombres rationnels et leur enseignement initial.
ADJIAGE Robert, 23 novembre 1999

Au cours des dernières décennies, on a pu observer de nombreuses mises en questions et renoncements dans l'enseignement des mathématiques. Ces évolutions sont pour la plupart imputables à des travaux spécifiques qui, d’après l’analyse de Duval (1998 ; pp.168-169), peuvent se référer à trois points de vue : le point de vue scientifique, le point de vue cognitif, le point de vue phénoménologique. Parmi les courants de pensée, on peut en repérer qui privilégient un de ces points de vue ou l'articulation de deux d'entre eux pour comprendre et organiser l'activité de connaissance en mathématiques.
L’enseignement de la notion de nombre rationnel, notamment à l'école primaire, n’a pas échappé à ce processus. Ainsi, dans la mouvance des mathématiques modernes, envisageait-on pour l'introduction aux fractions une présentation purement formelle de classes d’équivalence de couples d’entiers pour la relation r définie par
(a, b) r (c, d) si et seulement si ad = bc.
Cette présentation modélisée, indépendante d'éventuelles appréhensions directes que les élèves pourraient en avoir, porte la marque du point de vue scientifique. Une telle démarche d’enseignement, même précédée de l'une ou l'autre justification a montré qu'elle ne pouvait avoir de succès qu’auprès d’une minorité d’élèves.
Après l’invalidation de cette approche, l’appui sur les grandeurs (longueur, aire, durée…) familières aux élèves est revenu en usage courant dans l’enseignement des fractions. Les études didactiques entreprises ont permis de déterminer des classes de problèmes qui satisfont à des contraintes favorisant les apprentissages souhaités. Des variations apparaissent alors suivant que l'on privilégie  entre autres : un point de vue cognitif se référant à cinq sous-constructions (Kieren ; 1980) ; l'articulation d'un point de vue cognitif à un point de vue scientifique destinée à "reconstruire une genèse artificielle du concept" (Brousseau ; 1986-a) ; l’articulation d’un point de vue phénoménologique à un point de vue cognitif (Streefland ; 1991 et 1993).
Ces façons d’analyser et d’organiser l’apprentissage et l’enseignement des nombres rationnels, bien que diverses, se rejoignent sur : une description en termes de changements de perspectives successifs, associant les deux termes  assimilation et accommodation  du processus piagétien de passage d’un niveau d’activité à un autre ; un découplage entre la formation du concept et les moyens de son expression, le système des écritures fractionnaires usuelles étant avant tout envisagé comme un mode, certes utile pour enregistrer et communiquer l'information, mais participant peu à la production de sens. Si les changements de perspectives font l’objet d’une quasi unanimité, il convient en revanche d’être plus nuancé quant au découplage, car certains chercheurs  parmi lesquels nous retiendrons Vergnaud, Douady et Carraher , sans lui accorder un rôle premier dans l’apprentissage, lui reconnaissent cependant une "fonction d’aide à la pensée" (Vergnaud ; 1991, p. 159). A l’inverse, Duval (1995 ; 1996 ; 1998) a fortement mis en cause l’absence ou la subsidiarité de la sémiosis dans la conceptualisation. Pour développer notre thèse, nous nous sommes inscrits dans ce courant de pensée en l’appliquant à l’apprentissage des nombres rationnels.
Après un premier chapitre présentant le projet général de la recherche et formulant nos hypothèses, un deuxième chapitre est consacré à une compilation des travaux disponibles, incluant un regard sur l’édition scolaire. Il permet de dégager quatre stades ou crans d'appréhension de la notion de nombre rationnel, destinés d’une part à préciser les repères que l’articulation des points de vue scientifique et cognitif peut apporter à la didactique de la notion étudiée, d’autre part à relier le degré d'appréhension de la notion de nombre rationnel et les formes d'expression susceptibles d'en rendre compte. Nous examinons aussi quelles difficultés et quels obstacles sont rencontrés, notamment lors des articulations entre un cran et le suivant. En l'absence d'une étude systématique des moyens d'expression, les élèves, sous l’emprise de leur appréhension immédiate, commettent des erreurs de signifiance. Il est ainsi courant de voir appliquer, par analogie formelle, des règles au-delà de leur domaine de validité : par exemple une écriture fractionnaire traitée abusivement comme une juxtaposition de deux entiers indépendants. Cette tendance est accentuée par l'introduction précoce et non nécessaire des écritures fractionnaires à des stades d'appréhension des rationnels qui ne l'exigent pas.
Le chapitre III justifie notre choix stratégique pour un dispositif d'enseignement, d’expérimenter une introduction des rationnels recourant à l’usage systématisé de plusieurs registres d’expression. Remarquons que ce parti pris expérimental a pour conséquence de donner à l’expression un rôle qui va bien au delà de la seule fonction de communication, puisqu’elle est mise à contribution, comme le souligne Duval (1995 ; p. 89-92), pour fournir à un sujet les moyens de l’objectivation de ses représentations internes (on peut aussi parler de prises de conscience) et de certains traitements. Nous proposons donc, pour l’enseignement des rationnels, de privilégier une étude systématique de plusieurs registres, fondée sur les jeux des traitements et conversions, motivée par une approche phénoménologique. Une série de vingt logiciels, spécialement conçus pour la circonstance, dote notre expérience d'enseignement d'un environnement déterminant pour sa mise en œuvre. Ce chapitre se conclut par une proposition d'articulation entre une mobilisation sémiotique et l'univers physique des grandeurs, pour que le nombre rationnel ainsi construit soit susceptible de fonctionner à l’un quelconque des quatre crans décrits au chapitre II.
L'objet du chapitre IV est l'introduction aux rationnels par le registre des droites graduées analysée a priori et testée expérimentalement. Tout enseignement a recours aux registres des écritures fractionnaires et décimales, présents en toile de fond de toutes les formes de désignation (forme verbale du type “ trois quarts ”, pourcentages …) et systèmes remarquablement achevés en termes de coût et de convivialité à l’emploi. Notre projet nous a conduit à leur adjoindre un registre d’expression alternatif. Afin qu’il ne soit ni gratuit ni arbitraire, nous avons été placés devant un certain nombre de choix que nous examinons. Nous avons ainsi retenu le cadre géométrique qui présente l'avantage de se prêter à des traitements visuels, non routiniers, et donc d'offrir un environnement de travail propice au développement de procédures réfléchies à haute valeur explicative. Dans ce cadre, se trouvaient en concurrence les droites graduées et les surfaces fractionnées (du genre "parts de tartes"). 
Même si les applications trouvent dans le fractionnement des surfaces un mode de représentation couramment sollicité, que les élèves s’approprient rapidement, le rejet des droites graduées n’en est pas justifié pour autant. Ces dernières, au contraire, présentent un ensemble de caractéristiques favorables : familiarité pour les élèves, souplesse d’utilisation (changements d’unités par exemple), bonne adéquation avec les perceptions de sommes ou de rapports (songeons par exemple à la duplication d’un segment comparée à celle d’un carré). Des aménagements minimes suffisent à équiper les droites graduées pour en faire un véritable registre sémiotique : l’apprentissage proposé est comparable (en plus simple) à celui de la lecture d’une carte, avec ses signes conventionnels et sa légende ; il n’en serait pas de même pour les surfaces fractionnées. Par ailleurs, notre choix du système qui peut être construit sur les droites graduées, sans modification notable de leur présentation usuelle, fournit aux élèves un instrument qu’ils ne seront pas amenés à abandonner rapidement. Au contraire, ils pourront disposer d’un viatique, accompagnant constamment en tant que de besoin le recours à l’écriture usuelle, sous sa forme fractionnaire ou décimale. 
Pour étayer l'analyse qui constitue l'essentiel des deux premières parties du chapitre IV, nous abordons notre étude expérimentale, menée durant deux années scolaires consécutives dans une classe du cycle 3 des écoles. Nous nous bornons, dans ce chapitre, à valider notre introduction aux rationnels et à expliciter des compétences, correspondant à l’utilisation du registre des droites graduées, relatives à la maîtrise des nombres rationnels et à la résolution de problèmes associés. Nous expliquons aussi, par une étude comparative, pourquoi les surfaces fractionnées se prêtent mal à la constitution d'un véritable registre.
Le chapitre V est consacré aux deux autres registres d'expression des rationnels que sont les écritures fractionnaires et décimales. Il en est proposé ici une présentation et une insertion dans le curriculum conformes à notre projet général, notamment en organisant une approche phénoménologique relayée par une étude plus systématique des modes de significations, qui trouve son aboutissement lors des activités de conversions inter-registres. Des observations qualitatives de travaux d'élèves de la classe d’expérimentation étayent les premières conclusions.
Le chapitre VI, tout en précisant le cadre didactique de notre expérimentation, est en premier lieu consacré à la validation de notre recherche dans son ensemble. Un premier recueil de données est constitué par les résultats de la classe observée, lors de son entrée au CE2 (soit un an avant le début de l'expérimentation), à quatre séries d'items extraits de l'évaluation nationale et choisis pour évaluer quatre types de compétences générales liées à nos choix didactiques. Un deuxième recueil de données examine les résultats de la même classe en fin de cycle 3 (donc après la fin de l'expérimentation) à quatre séries d'items extraits d'une évaluation nationale à l'entrée en 6ème et destinés à évaluer les mêmes types de compétences. L'analyse comparée de ces données, en termes d'évolution du CE2 au CM2 aussi bien qu'en termes d'opposition à ceux d'échantillons nationaux, établit des décalages nets, tant qualitatifs (risquer des procédures non standard, débrouiller un énoncé non convenu) que quantitatifs (taux de réussite), en faveur de notre classe.
Un deuxième recueil de données est constitué par les résultats de ces élèves à trois évaluations conçues par nos soins, portant plus spécifiquement sur les acquisitions relatives aux nombres rationnels. L'analyse des données laisse apparaître des zones de force, notamment en ce qui concerne les droites graduées, les écritures décimales et la résolution de problèmes de proportion ne recourant pas explicitement à l'écriture fractionnaire, mais révèle des faiblesses résiduelles en ce qui concerne les écritures fractionnaires et la résolution de problèmes les mobilisant explicitement. Une analyse détaillée de ces résultats, confortée par une quatrième évaluation dite pronostic, permet de : proposer des aménagements au dispositif didactique pour une mise en œuvre ultérieure ; tirer parti du constat que certains échecs sont plus la conséquence de la prédominance de la langue naturelle sur les autres registres sémiotiques  la coordination avec celui des écritures fractionnaires semble particulièrement délicat  que l'indice d'une faiblesse structurelle d'ordre mathématique. En tout état de cause se trouve confortée l'option d'un travail spécifique sur la pluralité des registres de représentation pour construire l'architecture cognitive du sujet.

  La série des logiciels ORATIO auxquels la thèse renvoie en permanence, est disponible chez : Pierron entreprise, 2 rue Gutenberg, BP 80609, 57206 Sarreguemines