À PROPOS DE LA SYNTHÈSE F.M.
À PROPOS DE LA SYNTHÈSE F.M.
Daniel BEAUFILS
© INRP - TECNE
Dernière mise à jour 20/05/1998
La modulation de fréquence : un spectre complexe
et des indices de modulation élévés
La synthèse sonore par modulation de fréquence a été inventée en 1967 dans le département de Musique de Standford par John Chowning. Les éléments que nous donnons ci-dessous, s'appuient sur quelques ouvrages dont, en particulier, celui que J. Chowning lui-même a écrit avec D. Bristow dans le cadre de leur contribution à la conception des synthétiseurs Yamaha©.
LA MODULATION DE FRÉQUENCE : UN SPECTRE
COMPLEXE
Le principe théorique est la modulation de la fréquence d'un signal sinusoïdal par un signal sinusoïdal de plus basse fréquence :
Exemple d'un signal modulé en fréquence
Le calcul du spectre de Fourier d'un signal défini par la relation ci-dessus conduit à des fonctions intégrales, les fonctions de Bessel (notées Jk(x)) :
Il s'agit des fonctions de Bessel de première espèce, pour lesquelles l'indice est un entier, définies par :
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Ci-dessous, le spectre en 3 dimensions d'un signal dont on a fait varier le taux de modulation de 0 à 400 % de façon linéaire dans le temps. Les courbes d'enveloppe temporelle qui apparaissent pour la fréquence centrale et les bandes latérales ne sont autres que les fonctions de Bessel ci-dessus (du moins leur valeur absolue, puisqu'il s'agit uniquement des amplitudes).
Calcul et représentation de 0 à 240% |
Calcul et représentation de 0 à 400% |
LA BASE DE LA SYNTHÈSE F.M. : DES FRÉQUENCES
QUELCONQUES ET DES INDICES DE MODULATION ÉLEVÉS
La structure des spectres des signaux obtenus par modulation de fréquence montre immédiatement l'intérêt pour la synthèse de sons riches : contrairement à la synthèse additive, un nombre élevé d'harmoniques peut être facilement obtenu avec un seul générateur. Pour obtenir un tel son il suffit de choisir une fréquence de porteuse qui soit un multiple de la fréquence de modulation ; le spectre est alors semblable à celui d'un son d'instrument : fondamentale et harmoniques (fréquences multiples de l'intervalle).
Mais bien évidemment, le cas général où aucune relation particulière n'existe entre la porteuse et la modulante peut être exploité pour la création de sons inharmoniques. Les sonorités ainsi obtenues sont très riches, nouvelles, parfois inouïes et ont été une partie du succès de la synthèse F.M.. L'étendue des possibles est encore plus grande puisque rien n'interdit d'utiliser de très forts indices de modulation, et des fréquences de modulation plus élevées que celle de base. Le résultat repose alors sur les effets de combinaison de composantes avec des fréquences "négatives". Pour calculer le spectre il faut en général bien tenir compte des signes des coefficients d'amplitudes.
Prenons l'exemple d'une modulation avec un indice égale à 1.5, une fréquence de base de 100 Hz et une modulation à 400 Hz. Les coefficients sont donnés par les valeurs des fonctions de Bessel Jk(1.5), avec k = 0, 1, 2, 3.
f = fp + fm (Hz) |
Jk(b ) |
coefficient |
f = fp - fm (Hz) |
Jk(b ) |
coefficient |
100 500 900 1300 |
J0(1.5) J1(1.5) J2(1.5) J3(1.5) |
0.51 0.56 0.24 0.05 |
-1100 -700 -300 |
J-1(1.5) J-2(1.5) J-3(1.5) |
-0.56 0.24 -0.056 |
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Pour obtenir le spectre d'amplitude (qui donnera le spectre en énergie), il faut alors tenir compte de ces signes qui correspondent à des déphasages de p . De sorte que, pour "ramener" les composantes de fréquence négative dans la partie "réelle" du spectre, il faut effectuer le changement de signe correspondant, additionner algébriquement les composantes qui peuvent se recouvrir (ce n'est pas le cas ici) avant de faire la représentation en valeurs absolues. |
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Ci-contre, le spectre obtenu par calcul numérique après la synthèse d'un tel signal (logiciel Virtual Wavesã ). |
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On voit donc ici un exemple d'obtention d'un son harmonique ne comportant que des
harmoniques impaires. Mais on comprend alors également qu'un "désaccord" (en
utilisant une fréquence de base différente) entraînera la disparition du caractère
harmonique et donc un changement du timbre, et pourra dans certains cas faire apparaître
des battements.
Dans les paragraphes précédents nous n'avons présenté que le cas particulier d'une modulation par un signal simple : un signal harmonique ne comportant donc qu'une seule fréquence. Le principe des "algorithmes" implantés dans les synthétiseurs type DX7ã (Yamaha) repose au contraire sur l'association d'oscillateurs conduisant à des signaux complexes.
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Un module (ou algorithme) de synthèse F.M. est une association particulière de 6 oscillateurs, dont un au moins est modulé en fréquence. Les exemples ci-dessous sont les algorithmes numérotés 3, 5 et 18 chez Yamaha. Dans l'algorithme a, par exemple, les trois oscillateurs 1, 3 et 5 sont associés en synthèse additive, et sont respectivement modulés par les oscillateurs 2, 4 et 6. La boucle sur l'oscillateur 6 indique qu'une rétroaction est possible, permettant ainsi de générer des signaux très complexes. |
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Dans l'algorithme b, les sorties de deux oscillateurs (1 et 4), modulés par des oscillateurs (2 et 5) eux mêmes modulés (par 3 et 6), sont ajoutées en sortie. Dans l'algorithme c, la sortie est celle d'un seul oscillateur (1) mais modulé par trois oscillateurs complexes (2, 3 et 4).
Pour chacun des six oscillateurs, il est bien évidemment possible de choisir la fréquence, l'amplitude, l'indice de modulation ou de rétroaction, ainsi que la durée totale et l'enveloppe temporelle.
Ci-dessous un exemple d'implantation des modules de synthèse F.M. dans le logiciel VirtualWaves©.
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POUR EN SAVOIR PLUS, VOIR :
BEAUFILS D., 1997. Modulation de fréquence et synthèse F.M., Bulletin de l’Union des Physiciens, n°794, 929-945.
BEAUFILS D., 1997. Modulation d'amplitude et modulation de fréquence : les avantages du domaine sonore, Bulletin de l'Union des Physiciens, n° 793, 741-749.
BROWN F., 1982 La musique par ordinateur, collection Que-Sais-Je ?, n° 2011, PUF.
CHOWNING J., 1985. The synthesis of complex audio spectra by means of frequency modulation, in Fondation of computer music, Roads (C.) et Strawn (J.) Eds., Cambridge, Massaschussets : MIT Press.
CHOWNING J., BRISTOW D., 1985. F.M. ; théorie et applications (par des musiciens et pour des musiciens), Yamaha.
SAUNDERS S., 1985. Improved F.M. audio synthesis methods for real-time digital music generation, in Fondation of computer music, Roads (C.) et Strawn (J.) Eds., Cambridge, Massaschussets : MIT Press.
